72の法則の誤差
72の法則の証明・・・（？）
先日、ふと、72の法則って、どれくらい正しい（近似的に正しい）のかなと思い、ググってみると、下の記事？サイト？が、ヒットして、読んでみました。
非常にわかりやすかったです。
しかし、読んで、引っかかったところがありました。
説明を読んでいると、誤差を生み出す場所が、2ヶ所あります。
の近似 （以下、近似1と呼ぶ）
への近似（以下、近似2と呼ぶ）
特に、近似1は、xが小さい時は成り立つ（誤差が小さい）のだけれども、利率rとして、r/100 が十分小さいのかどうかというところだ。
一応、この法則の利用想定の利率としては、1%から10%ぐらいの値なのだと思う。
1%なら0.01なので2桁違うからそこそこ小さいけど、10%だと0.1なので、1桁ぐらいなので、微妙なんじゃないかなと思いました。
数値計算
そこで、数値的に調べてみましょう。ということで、numpyとmatplotlibで、えいやと書いてみました。コードはgistにあげるかも。
比較対象は、
- 近似なし
- 72の法則 (
)
- 69の法則 (
)（近似1と近似2を適用）
の４つです。 結果は以下の通り。
左図が全体で、右図は、利率が8%のところを拡大した図です。
全体としては、３つの近似ともに、近似なしと似た曲線をちゃんと描いているように見えます。
利率8%前後でみると、72の法則は、の近似、69の法則よりも、近似なし（青線）に近いことがわかります。
近似2だけでみると、72よりも69の方が正確なのですが、その前段階で、もっと大きい誤差があるよ、ということなのだと思います。
もう少し詳しく結果を確認したいと思います。 y軸を「2倍になる年数」で表示すると、線の順番がわかりにくいので、絶対誤差を表示させたいと思います。つまり、「|近似の値 ー 近似なしの値|」です。 この絶対値が小さいほど、より正確であるということです。
金利の小さいところ（3.5%ぐらいまで）では、「69の法則」の方が、「72の法則」よりも、誤差が小さい（精度が高い）であることがわかります。 逆に、3.5%ぐらいよりも大きいところでは、「72の法則」の方が、「69の法則」よりも誤差が小さいことがわかります。
実は、72のほうが割り算しやすいという勝手な理由で69を72で近似しているのだ。
こうとも言い切れなくて、4%から12%とかの範囲で使う場合は、72の方がより正確のようです。
では、72や69といった反比例の係数は、どのように影響するのだろうかということが気になったので、68から73の各法則を計算してみました。 今度は、絶対誤差ではなくて、単に誤差です。「近似の値 ー 近似なしの値」。（プラスであれば、実際よりも、年数が長めに算出されるという意味です。）
※線の色が、今までのものと違うところに注意。
どの法則が好きですか？
